Tabla de contenido
¿Qué es un árbol binomial?¿Cómo funciona un árbol binomial?¿Cómo se usa el árbol binomial?Por qué los profesionales prefieren el árbol binomialLimitación del árbol binomialInvestigación académica sobre el árbol binomial
¿Qué es un árbol binomial?
En el campo de las finanzas, el término árbol binomial se refiere a una representación gráfica con posibles valores intrínsecos que muestra que una opción puede tener lugar en diferentes períodos o nodos. Según este modelo, el valor de las opciones depende de los instrumentos financieros subyacentes, como bonos o acciones. Por otro lado, la opción de nodos depende de la posibilidad de que el precio de los activos subyacentes aumente o disminuya en cualquier nodo en particular.
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¿Cómo funciona un árbol binomial?
Un árbol binomial es una herramienta esencial para aquellas personas que desean cotizar opciones integradas y opciones estadounidenses. El árbol es simple de modelar; sin embargo, hay cuando se trata de los posibles valores que el activo subyacente puede tomar dentro de un período de tiempo. El activo subyacente solo puede valer bajo un modelo de árbol binomial cuando existe exactamente uno de los dos valores posibles. Desafortunadamente, esto no es realista, porque el valor de los activos puede tomar cualquier valor numérico dado dentro de un rango diferente. A diferencia de otros modelos, la valoración binomial de opciones tiene la capacidad de manejar un buen número de condiciones. Por esta razón, muchas personas utilizan este enfoque. La razón de esto es que se basa en la descripción de los instrumentos subyacentes durante algún tiempo y no en un punto único. Por lo tanto, se utiliza al valorar opciones americanas, que resultan ejercitables en un intervalo dado y en cualquier momento. El modelo también se utiliza para realizar la valoración de las opciones de las Bermudas que también son ejercitables en determinadas instancias de tiempo.
¿Cómo se usa el árbol binomial?
Puede utilizar el enfoque del modelo de precios binomial para rastrear las variables subyacentes de las claves de opción en tiempo discreto. Aplica el árbol binomial, también conocido como retícula, para varios intervalos de tiempo entre las fechas de vencimiento y la valoración. Tenga en cuenta que cada nodo del árbol representa el posible precio subyacente en cualquier momento dado. La valoración mediante un árbol binomial se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos que puede alcanzar en el momento de la expiración y luego calcula hacia atrás a través de la red hasta la primera fecha de valoración (primer nodo). Tenga en cuenta que el valor calculado en cada etapa se convierte en el valor de las opciones en ese momento en particular. Cuando realiza la valoración de opciones utilizando un árbol binomial, el proceso tomará tres pasos, como se muestra a continuación:
- Generación de árboles de precios
- Cálculo de valores de opción en cada nodo final
- Valores de opción computación secuencial en cada asentimiento anterior
Por qué los practicantes prefieren el árbol binomial
Un árbol binomial puede ser un poco más lento en comparación con la fórmula de Black-Scholes, pero es más preciso, especialmente para opciones a más largo plazo sobre valores y pagos de dividendos. Es por esta razón que la mayoría de los practicantes prefieren usar los modelos binomiales en varias versiones en los mercados de opciones.
Limitación del árbol binomial
Una limitación importante de un árbol binomial es que puede no ser práctico cuando se trata de algunas opciones. Tenga en cuenta que algunas opciones tienen varias fuentes de incertidumbre, mientras que otras tienen características complicadas, lo que hace que el enfoque binomial no sea adecuado para ellas. La simulación de Monte Carlo es el modelo más preferido a la hora de valorar este tipo de opciones. Sin embargo, la simulación de Monte Carlo consume mucho tiempo, por lo que no es ideal para la simulación informática con un valor pequeño de números.
Investigación académica sobre el árbol binomial
Convergencia de métodos de árboles binomiales para opciones europeas/americanas dependientes de la ruta, Jiang, L. y Dai, M. (2004). Convergencia de métodos de árboles binomiales para opciones europeas/americanas dependientes de la ruta. Revista SIAM sobre análisis numérico , 42 (3), 1094-1109. El método del árbol binomial, propuesto por primera vez por Cox, Ross y Rubinstein [ Journal of Financial Economics, 7 (1979), pp. 229–263], es uno de los enfoques más populares para las opciones de fijación de precios. Al introducir una variable dependiente de la ruta adicional, estos métodos pueden extenderse fácilmente a la valoración de opciones dependientes de la ruta. En este artículo, utilizando el análisis numérico y la noción de soluciones de viscosidad, presentamos un marco teórico unificador para mostrar la convergencia uniforme de los métodos de árboles binomiales para las opciones europeas/americanas dependientes de la trayectoria, incluidas las opciones de promedio aritmético, las opciones de promedio geométrico y las opciones de retrospección. .}
La tasa de convergencia del esquema de árbol binomial , Walsh, JB (2003). La tasa de convergencia del esquema de árbol binomial. Finanzas y Estocástica , 7 (3), 337-361. Estudiamos la convergencia detallada del esquema de árbol binomial. Se sabe que el esquema es de primer orden. Encontramos las constantes exactas y mostramos que es posible modificar la extrapolación de Richardson para obtener un método de orden de tres mitades. Vemos que el delta, utilizado en la cobertura, converge a la misma tasa. Analizamos esto integrando primero el esquema de árbol en el modelo de difusión de Black-Scholes por medio de la incorporación de Skorokhod. Remarcamos que esta técnica se aplica a casos mucho más generales.
Árboles binomiales implícitos, Rubinstein, M. (1994). Árboles binomiales implícitos. Diario de Finanzas , 49 (3), 771-818. Este artículo desarrolla un nuevo método para inferir probabilidades neutrales al riesgo (o precios contingentes de estado) a partir de los precios observados simultáneamente de opciones europeas. Estas probabilidades se utilizan luego para inferir un único árbol binomial recombinante completamente especificado que es consistente con estas probabilidades (y, por lo tanto, consistente con todos los precios de opciones observados). Un simple procedimiento recursivo hacia atrás resuelve todo el árbol. Desde el punto de vista del modelo binomial estándar de fijación de precios de opciones, que implica una distribución logarítmica normal neutral al riesgo límite para el activo subyacente, el enfoque aquí proporciona la forma natural (y probablemente la más simple) de generalizar a distribuciones de probabilidad neutrales al riesgo finales arbitrarias.
Árboles binomiales generalizados, Jackwerth, JC (1996). Árboles binomiales generalizados. Revista de Derivados , 5 (2), 7-17. En un enfoque novedoso, los árboles binomiales estándar e implícitos se especifican completamente en términos de dos entradas básicas: la distribución de probabilidad nodal final y una función de peso lineal que gobierna el proceso estocástico que da como resultado esa distribución. Varios principios económicos clave, como la ausencia de arbitraje interior, están intuitivamente relacionados con estos insumos básicos. Se encuentra un algoritmo de tres pasos simple y computacionalmente eficiente, común a todos los árboles binomiales. Teniendo en cuenta que la función de peso lineal utilizada actualmente es innecesariamente restrictiva, se introduce un árbol binomial aún más versátil, el árbol binomial generalizado. Se desarrollan aplicaciones para recuperar el proceso estocástico implícito en opciones (europeas, americanas o exóticas) de varios tiempos de vencimiento.
Sobre la tasa de convergencia del esquema de árbol binomial para opciones americanas, Liang, J., Hu, B., Jiang, L., & Bian, B. (2007). Sobre la tasa de convergencia del esquema de árbol binomial para opciones americanas. Numerische Mathematik , 107 (2), 333-352. Una opción de venta estadounidense se puede modelar como una desigualdad variacional. Con una aproximación de penalización a esta desigualdad variacional, en este trabajo se obtiene la tasa de convergencia O((x)2/3)O((x)2/3)del Esquema del Árbol Binomial.
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